Sensor-Zustand-Abhängigkeiten in ADM1da¶

Ziel: pro Mess-Kanal belegen, welche der 41 ADM1da-Zustände direkt im Messmodell auftauchen und welche nur indirekt über die Dynamik des Modells beobachtbar werden. Daraus folgt die Begründung, welche Zustände ein UKF realistisch schätzen kann, wenn nur bestimmte Sensoren verfügbar sind.

Die Messungen sind nach Verfügbarkeit getrennt, denn ein Online- Sensor liefert mehrmals am Tag Messungen, eine Lab-Analytik nur alle paar Tage und ein Forschungs-Verfahren vielleicht ein einziges Mal pro Jahr.

Methodik¶

Ein Zustand \(x_i\) ist aus einer Messung \(y = h(x)\) überhaupt nur dann beobachtbar, wenn entweder

direkt \(x_i\) explizit in \(h(x)\) auftritt (Ableitung ungleich Null im
Messmodell), oder
indirekt \(x_i\) in der rechten Seite \(\dot x_j = f_j(x)\) eines
direkt beobachtbaren \(x_j\) auftritt, dann liefert \(\dot y\) Information über \(x_i\). Dieser Mechanismus wird iteriert: nach \(k\) Schritten taucht \(x_i\) in \(y^{(k)}\) auf, falls eine Kette der Länge \(k\) durch die Jacobi-Matrix existiert (Lie-Ableitungen, siehe Hellmann et al. 2023).

Praktisch heißt das:

D = direkt — sofortige Beobachtbarkeit in einem einzigen
Update-Schritt.
I₁ = 1-Schritt-indirekt — Beobachtbarkeit nach mindestens einem
Zeitschritt mit Dynamik dazwischen.
I₂+ = k-Schritt-indirekt — nur über sehr genaue Modelldynamik und
lange Beobachtungsdauer rekonstruierbar. In der Praxis meist nicht trennbar von Modellfehlern.
C = korrelativ — kein direkter Modellausdruck, aber empirisch
gekoppelt (z.B. Leitfähigkeit ↔ ionische Stärke).

Die folgenden Tabellen zitieren explizit die Code-Stellen in pyadm1/core/adm1.py (Datei-Zeilennummern beziehen sich auf den Stand v0.3.4).

Notation und Symbole¶

Glossar der wichtigsten Größen, damit die Gleichungen und Tabellen weiter unten lesbar bleiben. Detail-Indizes für die 41 Zustände stehen in Theorie → ADM1da-Modell.

Zustandsklassen¶

Präfix	Bedeutung	Typische Einheit
\(S_\bullet\)	gelöste Spezies (Solute) im Liquid	kg COD/m³ oder kmol/m³
\(X_\bullet\)	partikuläre Spezies (Biomasse, Feststoff-Pools)	kg COD/m³
\(p_{\text{gas},\bullet}\)	Partialdruck einer Gasphase-Spezies	bar
\(p_{\text{total}}\) (= pTOTAL)	Gesamt-Gasdruck im Headspace, State-Index 40	bar

Subskripte (Stoff-Klassen)¶

Kürzel	Bedeutung
su	Zucker / monosaccharides (sugars)
aa	Aminosäuren (amino acids)
fa	langkettige Fettsäuren / LCFA
va	Valeriansäure / Valerat (C5)
bu	Buttersäure / Butyrat (C4)
pro	Propionsäure / Propionat (C3)
ac	Essigsäure / Acetat (C2)
h2	Wasserstoff
ch4	Methan
co2	anorganischer Kohlenstoff (= S_IC)
nh4	Ammonium-Stickstoff (= S_IN)
nh3	freies Ammoniak
hco3	Bikarbonat HCO₃⁻
_ion (Suffix)	dissoziierte Ionenform einer VFA (z.B. \(S_{ac\_ion}\) = Acetat-Anion)
cation, anion	Summe aller starken Kationen bzw. Anionen [kmol/m³]
I	Inert (gelöst \(S_I\) oder partikulär \(X_I\))
ch / pr / li	Kohlenhydrate / Proteine / Lipide
PS / PF / S	Pool-Klasse: slow-disintegrierend / fast-disintegrierend / hydrolysierbar
c4	C4-Säure-Abbauer (Valerat/Butyrat-Verwerter)
bac	Bakterien-Biomasse (allgemeiner Sammelbegriff)

Beobachtbare Größen (Outputs / Mess-Modelle)¶

Symbol	Bedeutung
\(Q_{\text{gas}}\)	gesamter Biogas-Volumenstrom [m³/d]
\(Q_{\text{CH4}}\), \(Q_{\text{CO2}}\)	Methan- bzw. CO₂-Volumenstrom [m³/d]
\(P_{\text{gas}}\)	Summe der trockenen Partialdrücke \(p_{\text{gas,h2}} + p_{\text{gas,ch4}} + p_{\text{gas,co2}}\) [bar]
\(p_{\text{total}}\)	Gesamt-Gasdruck als integrierter Modell-Zustand (Idx 40)
\(p_{\text{gas,h2o}}\)	Wasserdampf-Sättigungsdruck — temperaturabhängiger Parameter, kein Zustand
pH	\(-\log_{10}(S_H)\) mit \(S_H\) aus Newton-Lösung der Ladungsbilanz
VFA	Summe flüchtige Fettsäuren als HAc-Äquivalent [g HAc/L]
TAC	totale Alkalinität (Titration bis pH 5) [g CaCO₃/L]
FOS/TAC	Verhältnis VFA zu TAC — Nordmann-Frühwarn-Indikator
\(Q_{\text{solid}}\), \(Q_{\text{liquid}}\)	augmentierte Substrat-Zufuhrraten [m³/d] — keine ADM1-Zustände, sondern erweiterter State-Vector

Reaktionsraten \(\rho\) (im Code `Rho_*`)¶

Symbol	Bedeutung
\(\rho_{\text{dis,PS}}\), \(\rho_{\text{dis,PF}}\)	Disintegrations-Raten (\(X_{PS} \to X_S\), \(X_{PF} \to X_S\))
\(\rho_{\text{hyd,ch/pr/li}}\)	Hydrolyse-Raten (\(X_S \to S\))
\(\rho_{\text{su}}, \rho_{\text{aa}}, \rho_{\text{fa}}, \rho_{\text{c4}}, \rho_{\text{pro}}, \rho_{\text{ac}}, \rho_{\text{h2}}\)	Substrat-Aufnahme-Raten (Monod-Kinetik × Biomasse × Inhibition)
\(\rho_{\text{dec,}\bullet}\)	Biomasse-Decay-Raten
\(\rho_{A,\bullet}\)	Säure-Base-Reaktionsraten (sehr schnell, \(k_{AB} = 10^8\))
\(\rho_{T,\text{h2}}, \rho_{T,\text{ch4}}, \rho_{T,\text{co2}}\)	Gas-Liquid-Transferraten (Henry-Gesetz)
\(\rho_{T,11}\)	Bulk-Gas-Ausstrom aus dem Headspace

Inhibitions-Faktoren \(I\) (Werte in [0,1])¶

Symbol	Bedeutung
\(I_{\text{pH,aa}}, I_{\text{pH,ac}}, I_{\text{pH,h2}}\)	pH-Inhibition (Hill-Form, Exponent 1-3 je Pool)
\(I_{\text{IN}}\)	N-Limitation: \(S_{IN}/(K_{S,IN}+S_{IN})\)
\(I_{\text{h2,fa/c4/pro}}\)	H₂-Inhibition für LCFA-, C4-, Propionat-Abbauer
\(I_{\text{nh3}}, I_{\text{nh3,pro}}\)	NH₃-Inhibition für Acetoclasten und Propionat-Abbauer
\(I_{\text{HAc}}, I_{\text{HPr}}\)	Inhibition durch undissoziierte Essig-/Propionsäure
\(I_{\text{co2,h2}}\)	CO₂-Hemmung der H₂-produzierenden Pfade

Wichtige Parameter¶

Symbol	Bedeutung
\(k_{m,\bullet}\), \(K_{S,\bullet}\)	maximale Monod-Rate und Halbsättigungs-Konstante
\(k_{\text{dec,}\bullet}\)	Decay-Rate je Biomasse-Pool [d⁻¹]
\(k_{\text{dis,PS/PF}}\), \(k_{\text{hyd,ch/pr/li}}\)	Disintegrations- / Hydrolyse-Raten [d⁻¹]
\(Y_\bullet\)	Biomasse-Ausbeute pro Substrat-COD [-]
\(K_{a,\bullet}\)	Säure-Dissoziationskonstanten
\(K_{H,\text{ch4/co2/h2}}\)	Henry-Konstanten (Gas-Löslichkeit)
\(K_w\)	Ionenprodukt des Wassers
\(k_{L}a\)	Gas-Liquid-Transferkoeffizient [d⁻¹]
\(k_p\)	Gas-Ausstrom-Koeffizient (pipe-flow)
\(V_{\text{liq}}\), \(V_{\text{gas}}\)	Liquid- bzw. Gasphase-Volumen [m³]
\(T_{\text{ad}}\)	Betriebstemperatur (adiabatisch) [K]
\(R\), \(RT\)	Gaskonstante / Produkt \(R \cdot T_{\text{ad}}\)
\(M_{\text{HAc}}\)	60 g/mol (Acetat-Molmasse) für VFA-Umrechnung
64, 112, 160, 208	COD-Äquivalente für Acetat / Propionat / Butyrat / Valerat [g COD/mol]
\(f_{\bullet}\)	Stöchiometrische Produkt-Fraktionen (z.B. \(f_{\text{ac,su}} = 0.41\))
\(N_{\text{bac}}, N_{\text{aa}}, N_I\)	Stickstoff-Anteile pro Biomasse-, Aminosäure-, Inert-Pool [kmol N/kg COD]
\(D_{\text{in}}, D_{\text{out}}\)	Verdünnungsraten \(Q/V_{\text{liq}}\) [d⁻¹]
\(S_H\)	\(H^+\)-Konzentration aus Newton-Lösung der Ladungsbilanz

Messmodell-Gleichungen (aus dem Code)¶

Gas-Volumenströme¶

Aus ADM1.calc_gas:

# Z. 451-454
q_gas = max(
    k_p * (p_total_wet - p_ext) / (RT/1000 * NQ) * V_liq,
    0.0,
)
# Z. 456-460
p_gas    = pi_Sh2 + pi_Sch4 + pi_Sco2          # = p_gas_h2 + p_gas_ch4 + p_gas_co2
q_ch4    = q_gas * pi_Sch4 / (p_gas + p_gas_h2o)
q_co2    = q_gas * pi_Sco2 / (p_gas + p_gas_h2o)

Observable	Direkt abhängig von Zustand(en)	Idx
\(Q_{\text{gas}}\)	\(p_{\text{total}}\)	40
\(P_{\text{gas}}\)	\(p_{\text{gas,h2}}\), \(p_{\text{gas,ch4}}\), \(p_{\text{gas,co2}}\)	37, 38, 39
\(Q_{\text{CH4}}\)	\(p_{\text{total}}\), \(p_{\text{gas,h2}}\), \(p_{\text{gas,ch4}}\), \(p_{\text{gas,co2}}\)	37, 38, 39, 40
\(Q_{\text{CO2}}\)	\(p_{\text{total}}\), \(p_{\text{gas,h2}}\), \(p_{\text{gas,ch4}}\), \(p_{\text{gas,co2}}\)	37, 38, 39, 40

pH¶

Aus ADM1._calc_ph:

# Z. 1046-1048
vfa_anions = S_ac_ion/64 + S_pro_ion/112 + S_bu_ion/160 + S_va_ion/208
fixed      = S_cation - S_anion + (S_nh4 - S_nh3) - S_hco3 - vfa_anions
# Newton: f(S_H) = fixed + S_H − K_w/S_H = 0
pH = -log10(S_H)

Observable	Direkt abhängig von Zustand(en)	Idx
pH	\(S_{nh4}, S_{nh3}, S_{hco3}, S_{ac\_ion}, S_{pro\_ion}, S_{bu\_ion}, S_{va\_ion}, S_{cation}, S_{anion}\)	10, 36, 35, 34, 33, 32, 31, 29, 30

VFA und TAC¶

Aus Digester._compute_indicators:

# Z. 362-367 VFA in g HAc-äq / m³
vfa = M_HAc * (S_ac/64 + S_pro/112 + S_bu/160 + S_va/208)

# Z. 389-399 TAC in g CaCO3 / m³ (Endpunkt pH 5)
# kombiniert: ungebundenes NH3/NH4, HCO3/CO2, alle VFA-Ionen, S_cation/S_anion.

Observable	Direkt abhängig von Zustand(en)	Idx
VFA-Summe	\(S_{va}, S_{bu}, S_{pro}, S_{ac}\)	3, 4, 5, 6
VFA-einzeln (HPLC)	je nach Säure einzeln	je 3, 4, 5 oder 6
TAC	\(S_{va}, S_{bu}, S_{pro}, S_{ac}, S_{co2}, S_{nh4}, S_{cation}, S_{anion}, S_{va\_ion}, S_{bu\_ion}, S_{pro\_ion}, S_{ac\_ion}, S_{hco3}, S_{nh3}\)	3-6, 9, 10, 29-36
FOS/TAC	Vereinigung von VFA und TAC	dito

A — Online-Messungen¶

Kontinuierlich verfügbar, sekündliche bis minütliche Innovation. Diese Liste deckt typische SCADA-Sensorik einer landwirtschaftlichen Biogasanlage plus optionale Erweiterungen ab.

A.1 Standard-SCADA¶

Sensor	Was gemessen	direkter Bezug zu ADM1da-States	Klasse
Q_gas (Gasstrom-Sensor, thermisch/Turbine)	Biogas-Volumenstrom [m³/d]	pTOTAL (40)	D
Gasspeicher-Level (% Füllung)	Speicher-Δ über Zeit → Beitrag zu Q_gas	wie Q_gas	rekonstruktiv
Flare on/off	Status; Boundary für Q_gas-Bilanz	— (Boundary)	—
p_head (Kopfdruck)	Headspace-Druck [mbar/bar]	pTOTAL (40)	D
T_reactor (PT100 im Fermenter)	Fermenter-Temperatur	— (Boundary, skaliert Kinetik via Arrhenius)	—
T_ambient, T_inlet	Heat-Balance-Boundary	—	—
Substrat-Wägezelle / Pumpenzähler	\(-\Delta W\) → Q_feed (Feststoff oder flüssig)	\(Q_{solid}\) / \(Q_{liquid}\) (augmentiert)	D
BHKW Q_ch4-Verbrauch	Methanverbrauch pro CHP [m³/h]	pTOTAL + p_gas_ch4 (40, 38) via \(\eta\)	I₁
BHKW P_el (Wirkleistung)	Elektrische Leistung [kW]	wie Q_ch4, abgeleitet via \(\eta_{el}\)	I₁
Stirrer-Strom/-Leistung	Rührwerk — Viskositätsproxy	— (keine ADM1-Kopplung)	—
Heating power	Heizleistung [kW]	— (Boundary)	—

A.2 Online-Gas-Analytik (NDIR-Multi-Gas-Sensor)¶

Sensor	Was gemessen	direkter Bezug zu ADM1da-States	Klasse
CH₄-Anteil im Biogas (NDIR)	\(p_{gas,ch4}/p_{gas}\) [%]	\(p_{gas,ch4}\) (38)	D
CO₂-Anteil im Biogas (NDIR)	\(p_{gas,co2}/p_{gas}\) [%]	\(p_{gas,co2}\) (39)	D
H₂-Anteil im Biogas (TCD/elektrochemisch)	\(p_{gas,h2}/p_{gas}\) [ppm-%]	\(p_{gas,h2}\) (37)	D
O₂-Anteil im Biogas	Qualitätskontrolle (Lufteintrag)	— (kein ADM1-State)	—
H₂S-Anteil im Biogas	Schwefelwasserstoff [ppm]	— (kein ADM1-State; entschwefelt)	—

A.3 Online-Liquid-Phase (Premium-Ausstattung)¶

Sensor	Was gemessen	direkter Bezug zu ADM1da-States	Klasse
pH-Sonde (Glaselektrode, ISFET)	liquid pH	9 Ladungsbilanz-Zustände (10, 29-36)	D
ORP / Redox-Potential	Reduktionspotential [mV]	\(S_{h2}\) (7), Methanogen-Aktivität	C
Conductivity (EC)	elektrische Leitfähigkeit [µS/cm]	\(S_{cation} + S_{anion}\) + alle Ionen-Spezies	C
Online-TAC (FOS-Titrator)	Alkalität [g CaCO₃/L]	wie Lab-TAC, siehe unten	D
Online-VFA (HPLC online)	Einzelne Säuren [g/L]	\(S_{va}, S_{bu}, S_{pro}, S_{ac}\) einzeln (3-6)	D
Online-NH₄⁺ (ISE)	Ammonium [g/L]	\(S_{nh4}\) (10)	D
Level / V_liq	Füllstand	— (im aktuellen Modell konstant)	—

B — Lab-Analytik¶

Periodisch (täglich, wöchentlich, monatlich). Liefert Stand-und-Halt- Werte. UKF nutzt sie als gated observations zu sporadischen Zeitpunkten.

B.1 Standard-AD-Routine (typ. wöchentlich)¶

Lab-Größe	Methode	direkter Bezug zu ADM1da-States	Klasse
pH (Lab)	Glaselektrode	wie Online-pH	D
VFA (FOS-Titration Nordmann)	titrimetrisch	VFA-Summe: \(S_{va}, S_{bu}, S_{pro}, S_{ac}\) als Summe	D-Summen
TAC (Alkalitäts-Titration)	titrimetrisch	wie oben (TAC-Eintrag)	D
FOS/TAC	abgeleitet	Verhältnis	D
TS (Trockensubstanz)	Trockenschrank	\(X_I\) direkt, partikuläre Pools summarisch	I₁(Σ)
VS / oTS (Glühverlust)	Glühen 550 °C	analog TS, ohne mineralische Asche	I₁(Σ)
NH₄-N	Indophenol oder IC	\(S_{nh4}\) (10)	D
Leitfähigkeit	LF-Messgerät	\(S_{cation} + S_{anion}\) Summe	C

B.2 Erweiterte Analytik (typ. wöchentlich bis monatlich)¶

Lab-Größe	Methode	direkter Bezug zu ADM1da-States	Klasse
Einzel-VFA (Acetat, Propionat, n-/iso-Butyrat, n-/iso-Valerat)	HPLC oder GC	\(S_{ac}\) (6), \(S_{pro}\) (5), \(S_{bu}\) (4), \(S_{va}\) (3) jeweils einzeln	D je Säure
TKN (Total Kjeldahl Nitrogen)	Kjeldahl-Aufschluss	\(S_{nh4} + S_{nh3} + N\)-Anteil aller Biomasse- und Protein-Pools	D-Summe über N
CSB (COD) gesamt	Photometrisch	Summe aller COD-Spezies	I₁(Σ)
CSB gelöst (filtriert 0.45 µm)	gleich	nur gelöste COD: \(S_{su, aa, fa, va, bu, pro, ac, h2, ch4, I}\) Summe	I₁(Σ-gelöst)
CSB partikulär	CSB_total − CSB_gelöst	partikuläre Pools Summe	I₁(Σ-part.)
Kationen-Inventur (Na⁺, K⁺, Ca²⁺, Mg²⁺)	IC oder ICP-OES	\(S_{cation}\) (29)	D
Anionen-Inventur (Cl⁻, SO₄²⁻, PO₄³⁻, NO₃⁻)	IC	\(S_{anion}\) (30)	D
BSB5 (BOD5)	5-Tage-Atmung	biologisch abbaubare COD-Fraktion	I₂(Σ)

B.3 Substrat-Analytik (für s_in der Influent-Bilanz)¶

Lab-Größe	Was es liefert	direkter Bezug zu ADM1da-Inputs
Substrat-TS, -oTS, -CSB	Charakterisierung pro Substrat	s_in[i] für partikuläre / inerte Pools, je Substrat-Slot
Substrat-NH₄-N, -TKN	Stickstoff-Beitrag	s_in[10], s_in[11]
Substrat-Disintegrations-Fraktionen	aus Profilen oder Lab-BMP-Test	f_ch_xc, f_pr_xc, f_li_xc, f_xi_xc, f_si_xc — fließt in Calibration-Artefakt, nicht State

Substrat-Analytik beeinflusst nicht den Filter-State direkt, sondern den Influent-Vektor \(s_{in}\). Das heißt sie schiebt die Anfangsbedingung der Mass-Balance, nicht den Zustand selbst. Falsch parametrisierter Influent führt zu chronischen Filter-Biases.

C — Forschungs- / Spezialverfahren (für Vollständigkeit)¶

Methode	Was gemessen	direkter Bezug zu ADM1da-States	Anmerkung
qPCR / 16S-rRNA-Sequenzierung	Biomasse-Populationen quantitativ	\(X_{su}, X_{aa}, X_{fa}, X_{c4}, X_{pro}, X_{ac}, X_{h2}\) (22-28) jeweils einzeln	aufwändig (~100 €/Probe), Wochen Vorlauf — produktiv selten
GC-MS für LCFA / Spuren-VFA	Einzel-LCFA-Spezies, Spuren-Säuren	\(S_{fa}\) (2) und feinere Subskala	Forschung
In-situ-H₂-Sonde (Headspace)	Online-\(p_{gas,h2}\)	\(p_{gas,h2}\) (37)	siehe A.2
Trace-Element-Analytik (Fe, Co, Ni, Mo, Se)	für Kinetik wichtig	— (kein ADM1-State, beeinflusst \(k_{m,*}\))	als Kalibrierungs-Anhaltspunkt
H₂S gelöst, Sulfat, Sulfid	Schwefel-Inhibition	— (nicht in ADM1da)	für Hill-erweiterte Modelle
BMP-Test (Batch Methane Potential)	spezifische Methanausbeute eines Substrats	\(f_{*}\)-Fraktionen, k_dis je Substrat	Eingang ins Calibration-Artefakt

ODE-Kopplungsstruktur — wer hängt von wem ab¶

Die rechte Seite jeder Differentialgleichung enthält weitere Zustände. Die folgenden Abhängigkeiten sind aus ADM_ODE extrahiert:

Gas-Phase-DGLs (Z. 914-918)¶

diff_p_h2  = Rho_T_h2  * RT/16 − p_gas_h2/pTOTAL  * Rho_T_11
diff_p_ch4 = Rho_T_ch4 * RT/64 − p_gas_ch4/pTOTAL * Rho_T_11
diff_p_co2 = Rho_T_co2 * RT    − p_gas_co2/pTOTAL * Rho_T_11
diff_pTOT  = RT/16 * Rho_T_h2 + RT/64 * Rho_T_ch4 + RT * Rho_T_co2 − Rho_T_11

mit (Z. 712-723):

Rho_T_h2  = k_L_a * (S_h2  - 16*p_gas_h2 /(RT*K_H_h2 )) * V_liq/V_gas
Rho_T_ch4 = k_L_a * (S_ch4 - 64*p_gas_ch4/(RT*K_H_ch4)) * V_liq/V_gas
Rho_T_co2 = k_L_a * (S_co2_free - p_gas_co2/(RT*K_H_co2)) * V_liq/V_gas
S_co2_free = max(S_co2 - S_hco3, 0)
Rho_T_11  = k_p * (pTOTAL + p_gas_h2o − p_ext) * V_liq/V_gas

→ Eine Gasstrom-Messung erschließt in einem Zeitschritt: pTOTAL (D), \(p_{gas,h2/ch4/co2}\) (1-Schritt-indirekt aus \(\dot p_{TOT}\)), \(S_{h2}, S_{ch4}, S_{co2}, S_{hco3}\) (alle via \(\rho_T\)-Terme).

Methanstrom-Kette (S_ch4-DGL, Z. 828-834)¶

diff_S_ch4 = D_in·s_in[8] - D_out·S_ch4 + (1-Y_ac)·Rho_ac + (1-Y_h2)·Rho_h2
             - V_gas/V_liq · Rho_T_ch4

mit \(\rho_{ac} = k_{m,ac}\cdot S_{ac}/(K_{S,ac}+S_{ac})\cdot X_{ac}\cdot I_{ac}\) und \(\rho_{h2} = k_{m,h2}\cdot S_{h2}/(K_{S,h2}+S_{h2})\cdot X_{h2}\cdot I_{h2}\) (Z. 686-687).

→ Aus Q_CH4 zusätzlich erreichbar nach 2 Schritten: \(X_{ac}, X_{h2}, S_{ac}\), und alle Inhibitions-Faktoren \(I_{ac}\) (= alle Ionen + \(S_{nh3}\)).

Acetat-Kette (S_ac-DGL, Z. 805-815)¶

diff_S_ac = D_in·s_in[6] - D_out·S_ac
            + (1-Y_su)·f_ac_su  · Rho_su      # X_su, S_su
            + (1-Y_aa)·f_ac_aa  · Rho_aa      # X_aa, S_aa
            + (1-Y_fa)·0.7      · Rho_fa      # X_fa, S_fa
            + (1-Y_c4)·0.31     · Rho_c4_va   # X_c4, S_va
            + (1-Y_c4)·0.8      · Rho_c4_bu   # X_c4, S_bu
            + (1-Y_pro)·0.57    · Rho_pro     # X_pro, S_pro
            - Rho_ac

→ Aus VFA-Messung (sieht \(S_{ac}\) direkt) wird nach 1 Schritt sichtbar: \(S_{su}, S_{aa}, S_{fa}, S_{va}, S_{bu}, S_{pro}\) und \(X_{su}, X_{aa}, X_{fa}, X_{c4}, X_{pro}, X_{ac}\).

Stickstoff-Kette (S_nh4-DGL, Z. 840-853)¶

diff_S_nh4 = D_in·s_in[10] - D_out·S_nh4
             - Y_su·N_bac·Rho_su + (N_aa - Y_aa·N_bac)·Rho_aa
             - Y_fa·N_bac·Rho_fa - ...
             + (N_bac - f_pr_bac·N_aa - f_p_bac·N_I)·sum_decay
             + Rho_A_IN

→ NH4-N-Messung erschließt zusätzlich: alle Biomasse-Decay-Pools, \(S_{nh3}\) via \(\rho_{A,IN}\), und über \(S_H\) die gesamte pH-Algebra.

Partikuläre Pools (Z. 856-893)¶

Disintegration X_PS_ → X_S_ und Hydrolyse X_S_ → S_su/aa/fa wirken auf Summen, die ch/pr/li-Aufteilung erscheint überall identisch und ist deshalb mit aggregierten Messungen (TS, VS, CSB) nicht trennbar*.

Master-Tabelle: Sensor → erschlossene Zustände¶

Synthese der direkten + 1-Schritt-indirekten Abhängigkeiten, getrennt nach Verfügbarkeit. Symbole: D direkt · I₁ 1-Schritt · I₂+ mehrere Schritte · C korrelativ · Σ nur als Summe trennbar · (leer) kein realistischer Pfad.

Online-Sensoren¶

Gelöste Komponenten (0-11)¶

Sensor	S_va	S_bu	S_pro	S_ac	S_h2	S_ch4	S_co2	S_nh4
Q_gas					I₁	I₁	I₁
Q_ch4 (NDIR)				I₂	I₁	I₁	I₂	I₂
Q_co2 (NDIR)				I₂			I₁	I₂
H₂-Gas (NDIR)					I₁		I₂
pH (online)								D
Conductivity								C
ORP					C
Online-VFA (HPLC)	D	D	D	D
Online-NH₄⁺ (ISE)								D
BHKW Q_ch4				I₂	I₁	I₁	I₂

Biomasse + augmentierte Inputs¶

Sensor	X_su	X_aa	X_fa	X_c4	X_pro	X_ac	X_h2	Q_solid	Q_liquid
Q_gas	I₂+	I₂+	I₂+	I₂+	I₂+	I₂	I₂
Q_ch4	I₂+	I₂+	I₂+	I₂+	I₂	I₁	I₁
Online-VFA	I₁	I₁	I₁	I₁	I₁	I₁	I₂+
Hopper-Wägezelle								D
Pre-Pit-Level / Pumpenzähler									D

Ladungsbilanz + Gasphase¶

Sensor	S_cation	S_anion	S_va_ion	S_bu_ion	S_pro_ion	S_ac_ion	S_hco3	S_nh3	p_gas_h2	p_gas_ch4	p_gas_co2	pTOTAL
Q_gas							I₁		I₁	I₁	I₁	D
Q_ch4							I₂		D	D	I₁	D
Q_co2							I₁		D	I₁	D	D
H₂-Gas									D			I₁
p_head												D
pH (online)	D	D	D	D	D	D	D	D
Conductivity	C	C
Online-VFA

Lab-Analytik¶

Gelöste Komponenten (0-11)¶

Lab-Größe	S_su	S_aa	S_fa	S_va	S_bu	S_pro	S_ac	S_h2	S_ch4	S_co2	S_nh4	S_I
VFA-Summe (FOS)				D-Σ	D-Σ	D-Σ	D-Σ
TAC				D	D	D	D			D	D
FOS/TAC				D	D	D	D			D	D
pH (Lab)											D
NH₄-N (Lab)											D
Einzel-VFA (HPLC)				D	D	D	D
TKN											D-Σ
TS / VS (Lab)												I₂
CSB total	I₁(Σ)	I₁(Σ)	I₁(Σ)	I₁(Σ)	I₁(Σ)	I₁(Σ)	I₁(Σ)	I₁(Σ)	I₁(Σ)			I₁(Σ)
CSB gelöst	D-Σ-gelöst	D-Σ-gelöst	D-Σ-gelöst	D-Σ-gelöst	D-Σ-gelöst	D-Σ-gelöst	D-Σ-gelöst	D-Σ-gelöst	D-Σ-gelöst			D-Σ-gelöst
Anionen-Inv.
Kationen-Inv.
Substrat-TS/oTS/CSB	(s_in[*] — Influent, kein State direkt)

Biomasse + Ladungsbilanz (Lab)¶

Lab-Größe	X_PS_ / X_PF_ / X_S_*	X_I	X_su-h2	S_cation	S_anion	S_*_ion	S_hco3	S_nh3
TS / VS	I₁(Σ)	D	I₂+
CSB partikulär	D-Σ-part.	D-Σ-part.	D-Σ-part.
TAC				D	D	D	D	D
TKN								I₁
Anionen-Inv.					D	D?	D
Kationen-Inv.				D				I₁

Hinweis zu Anionen-/Kationen-Inventur: \(S_{cation}\) und \(S_{anion}\) sind im Modell gepoolt als kmol/m³. Eine spezies-aufgelöste Inventur (Na⁺, K⁺, …) gibt die Pool-Summe direkt; einzelne Spezies existieren im State-Vektor nicht.

Implikationen für den UKF¶

Praktische Faustregeln¶

Nur Standard-SCADA (Q_gas, BHKW, T, Hopper, Pre-Pit)
direkt schätzbar: pTOTAL, \(Q_{solid}, Q_{liquid}\) (augmentiert)
1-Schritt: \(S_{h2/ch4/co2}, S_{hco3}, p_{gas,*}\)
2-Schritt: \(X_{ac}, X_{h2}, S_{ac}\)
Effektiv 6-8 trennbare Dimensionen, \(X_{ac}\)/\(X_{h2}\) teilweise entartet.
+ NDIR-Gasanalytik (CH₄/CO₂-Anteil online)
\(X_{ac}\) vs \(X_{h2}\) trennbar (durch CH₄/CO₂-Ratio).
\(S_{co2}\) vs \(S_{hco3}\) sauberer trennbar.
H₂-Sensor optional: macht \(p_{gas,h2}\) direkt observable.
+ pH-Sonde
9 Ladungsbilanz-Zustände direkt observable.
Newton-Iteration im Update entfällt, algebraisch sauber.
+ FOS/TAC Routine-Lab (täglich/wöchentlich)
VFA-Summe + Alkalitäts-Summe direkt.
Acetat-Methanogen-Kette robust observable.
Frühwarn-Indikatoren quantitativ.
+ Einzel-VFA (HPLC, monatlich)
\(S_{ac}, S_{pro}, S_{bu}, S_{va}\) einzeln statt nur Summe.
Trennt acetoclasten- vs propionat-getriebene Inhibitionen.
+ NH4-N + TKN
\(S_{nh4}\) direkt, NH3-Inhibition \(I_{nh3}\) quantifizierbar.
Bei Stickstoff-reichen Substraten (Hühnermist, Schlachtabfälle)
entscheidend.
+ Kationen-/Anionen-Inventur (monatlich)
\(S_{cation}, S_{anion}\) direkt — sonst sehr schwer observable.

Was der UKF nicht kann, egal mit welcher Sensorik¶

Einzelne ch/pr/li-Fraktionen trennen. Disintegrations- und
Hydrolyseraten wirken auf Summen, die Aufteilung bleibt durch den Prior bestimmt. Lösung nur über qPCR oder Substrat-Profile.
\(X_I\)/\(S_I\)-Akkumulation in Stunden. Inert-Pools haben
Zeitkonstanten von Wochen bis Monaten.
Substrat-spezifische Disintegration online. Selbst mit Lab-VFA
und pH bleibt die Aufteilung zwischen X_PS und X_PF (slow/fast) schwach observable. Lösung: Calibration-Artefakt setzt diese Parameter, Filter schätzt sie nicht mit.
Einzelne Biomasse-Populationen ohne qPCR, gemessen werden nur
Summen-Effekte über die Gasstrom-Antwort.

Latenz-Bewertung¶

Mess-Set	Update-Frequenz	Reaktionszeit auf Anlagenstörung
Nur Q_gas	s-Bereich	minütlich — sehr schnell
+ NDIR + pH	s-Bereich	bei pH-Veränderung sofort
+ FOS/TAC Routine-Lab	täglich	1-2 Tage Verzögerung — UKF muss mit Prior überbrücken
+ Einzel-VFA / NH4-N / Kationen	wöchentlich-monatlich	sehr langsame Korrektur; eher Bias-Anker als Reaktion
+ qPCR	jährlich oder selten	Validierung, keine Reaktion

STRIKE-GOLDD-Anwendbarkeit für ADM1da¶

Kurz: nicht direkt für das volle 41-State-Modell.

Vergleichsdaten aus der Literatur¶

Hellmann et al. (2023) zeigen empirisch für die STRIKE_GOLDD-Toolbox (Matlab):

Modellklasse	States	FISPO-Zeit	ORC-DF-Zeit
ADM1-R4	11	3 s	7 s
BMR3+ABC	13	12 s	5 s
ADM1-R3	17	11.959 s (≈ 3.3 h)	811 s
ADM1-R2	>17	kein Ergebnis (Toolbox bricht ab)	kein Ergebnis

Eigenes Python/sympy-Benchmark¶

Wir haben den STRIKE-GOLDD Algorithmus direkt in Python/sympy nachgebaut (observability_experiment/subsystem_checker.py): symbolische Lie-Ableitungen + numerische Rangprüfung am Sample-Punkt (Sedoglavic 2002). Exakt das, was ORC-DF intern auch macht, nur ohne die Matlab↔Octave↔Python-Brücke.

Eine Direktanalyse aller 41 Zustände ist nicht praktikabel: die Lie-Ableitungs-Komplexität wächst exponentiell (ein Polynom-Fit aus synthetischen Testläufen mit n = 4, 6, 8 ergibt \(t \propto 4.04^{n}\) Sekunden bzw. \(m \propto 3.39^{n}\) MiB; bereits ab n = 16 überschreitet der RAM-Bedarf 256 GiB). Hellmann (2023) stoppt aus dem gleichen Grund bei n = 17.

Lösung: Divide-and-Conquer über fünf Subsysteme + ein Super-Subsystem. Das volle Modell wird entlang seiner topologischen Struktur (Gas / Säure / Hydrolyse / Ladungsbilanz / Stickstoff) in Blöcke zerlegt, jeder Block wird isoliert analysiert, Kopplungen über known inputs aufgelöst.

Ergebnisse (Phase-1-Sensorik: \(Q_{gas}\) + CH4/CO2 NDIR + pH online + FOS/TAC)¶

Subsystem	n	n_out	iters	Rang	Verdict	Wall
A — Gas + Methanogenese	11	3	3	11	observable	0.7 s
B — Acidogenese	9	1	5	6	partial (sympy-Toolchain-Limit; Decke ≈ 9)	51 min
C — Disintegration / Hydrolyse	10	3	12	7	partial (PS/PF-Split echt nicht trennbar)	1.4 s
D — Ladungsbilanz / pH	8	2	3	8	observable	5.6 min
E — Stickstoff + \(S_I\)	2	2	0	2	observable (open-loop)	< 0.1 s
A+D fusioniert (Variante II)	18	5	3	18	observable, ohne Handshake-Annahmen	17.8 min

Total: ≈ 80 min Rechenzeit, alle Runs im 1-Stunden-Budget pro Subsystem.

Kernaussagen:

A+D fusioniert ist der stärkste Composite-Beweis: 18 von 41
Zuständen, inkl. der vollen pH-Algebra mit \(S_H = (-fixed + \sqrt{fixed^2 + 4 K_w})/2\) und der Inhibitionsfaktoren \(I_{ac}, I_{h2}, I_{HAc}, I_{nh3}\) sind ohne irgendwelche „opaken" Boundary-Inputs strukturell observabel. Damit ist die Gas-Phase, die Methanogenese und die komplette Säure-Base-Chemie bewiesenermaßen schätzbar.
C zeigt das echte strukturelle Defizit: TS und VS allein können
Kohlenhydrate, Proteine und Lipide nicht trennen (Rang 4/10). Mit COD-gewichteter Messung (1.03 / 1.5 / 2.9 gCOD/gVS für ch/pr/li) steigt der Rang auf 7/10, die verbleibenden drei Defekte sind die PS/PF-Splits (langsam vs. schnell abbaubar), die aus Prozessmessungen prinzipiell nicht auflösbar sind und durch Substrat-Charakterisierung im Labor festgelegt werden müssen.
B ist toolchain-limitiert, nicht physikalisch limitiert:
\(S_{fa}, X_{fa}\) wurden als analytisch entkoppelt entfernt (sie fließen via \(\rho_{fa}\) nur in \(S_{ac}, S_{h2}\) und damit nach A, nicht in die VFA-Summe der FOS-Messung). Die Rang-Steigerung \(1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5 \to 6\) läuft konstant +1/Iteration; bei Iter 6 trifft SymPy einen CPython-Buffer-Limit (bytesobject.c:3219). Das Muster legt strukturell Rang 9 nahe, aber beweisbar ist im aktuellen Toolchain nur Rang 6.
E (S_nh4, S_I) ist open-loop observable: jedes RHS-Element
steht über A+B+C+D zur Verfügung, der Ausgangs-Jacobian erreicht Rang 2 ohne Lie-Iteration. Aber ohne NH4-N-Messung kein Innovations-Kanal, Drift im UKF muss über OU-Prior gefangen werden.

Komposite-Bilanz:

Block	Provably observabel	Plausibel observabel
A+D fusioniert	18 / 18	18 / 18
B (substrat-seitig)	5 / 9	9 / 9 (sympy-limit)
C	7 / 10	7 / 10 (PS/PF-Defizit ist real)
E	2 / 2 (open-loop)	2 / 2
ADM1da gesamt	32 / 41	36 / 41

Die verbleibenden 5-9 Zustände sind: drei PS/PF-Splits in C (Lab- Charakterisierung pflichtig), zwei Stickstoff-Zustände in E (Korrekturkanal nur mit NH4-N), und 0-4 Biomasse-Zustände in B (strukturell vermutlich observabel, im aktuellen Toolchain unbeweisbar).

Vollständige Details und Reproduktionsanleitung: observability_experiment/results.md.

Konsequenz für die UKF-Auslegung¶

Direkter Innovationskanal für 30 Zustände: 18 A+D + 5
Acidogenese-Substrate + 7 Hydrolyse-Modi.
Open-Loop-Propagation für 11 Zustände: 4 Acidogenese-Biomassen
(X_su, X_aa, X_c4, X_pro), 3 PS/PF-Splits in C, 2 Stickstoff-Zustände in E, 2 FA-Zustände (S_fa, X_fa über A langsam observabel). Modellieren als OU-Drift-Kanäle in StateVectorSpec.

Quellen¶

pyadm1/core/adm1.py (v0.3.4) — alle Zeilen-Zitate beziehen sich hierauf.
pyadm1/components/biological/digester.py — VFA-/TAC-Berechnung.
Hellmann, S. et al. (2023). Observability and Identifiability
Analyses of Process Models for Agricultural Anaerobic Digestion Plants. arXiv:2301.05068v3.
Haugen, F. et al. (2014). State Estimation and Model-Based Control of
a Pilot Anaerobic Digestion Reactor. J. Control Sci. Eng., 572621.
Villaverde, A. F. (2022). STRIKE_GOLDD 4.0. arXiv:2207.07346.
Wolf, C., Gaida, D., Bongards, M. (2014). Online-measurement systems
for agricultural and industrial AD plants — a review and practice test. Kompendium :metabolon.
Observability-Literatur-Überblick

Sensor-Zustand-Abhängigkeiten in ADM1da¶

Methodik¶

Notation und Symbole¶

Zustandsklassen¶

Subskripte (Stoff-Klassen)¶

Beobachtbare Größen (Outputs / Mess-Modelle)¶

Reaktionsraten \(\rho\) (im Code Rho_*)¶

Inhibitions-Faktoren \(I\) (Werte in [0,1])¶

Wichtige Parameter¶

Messmodell-Gleichungen (aus dem Code)¶

Gas-Volumenströme¶

pH¶

VFA und TAC¶

A — Online-Messungen¶

A.1 Standard-SCADA¶

A.2 Online-Gas-Analytik (NDIR-Multi-Gas-Sensor)¶

A.3 Online-Liquid-Phase (Premium-Ausstattung)¶

B — Lab-Analytik¶

B.1 Standard-AD-Routine (typ. wöchentlich)¶

B.2 Erweiterte Analytik (typ. wöchentlich bis monatlich)¶

B.3 Substrat-Analytik (für s_in der Influent-Bilanz)¶

C — Forschungs- / Spezialverfahren (für Vollständigkeit)¶

ODE-Kopplungsstruktur — wer hängt von wem ab¶

Gas-Phase-DGLs (Z. 914-918)¶

Methanstrom-Kette (S_ch4-DGL, Z. 828-834)¶

Acetat-Kette (S_ac-DGL, Z. 805-815)¶

Stickstoff-Kette (S_nh4-DGL, Z. 840-853)¶

Partikuläre Pools (Z. 856-893)¶

Master-Tabelle: Sensor → erschlossene Zustände¶

Online-Sensoren¶

Gelöste Komponenten (0-11)¶

Biomasse + augmentierte Inputs¶

Ladungsbilanz + Gasphase¶

Lab-Analytik¶

Gelöste Komponenten (0-11)¶

Biomasse + Ladungsbilanz (Lab)¶

Implikationen für den UKF¶

Praktische Faustregeln¶

Was der UKF nicht kann, egal mit welcher Sensorik¶

Latenz-Bewertung¶

STRIKE-GOLDD-Anwendbarkeit für ADM1da¶

Vergleichsdaten aus der Literatur¶

Eigenes Python/sympy-Benchmark¶

Ergebnisse (Phase-1-Sensorik: \(Q_{gas}\) + CH4/CO2 NDIR + pH online + FOS/TAC)¶

Konsequenz für die UKF-Auslegung¶

Quellen¶

Reaktionsraten \(\rho\) (im Code `Rho_*`)¶